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数论与代数
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文章类型：学科方向介绍
文章加入时间：2006年2月27日21:1
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本研究方向的特色、学术地位、作用和意义：
特色
数论与代数是现代数学的核心领域，它涉及到数学的几乎所有的主流分支。如拓扑、几何、分析等等。而模形式与自守形式的研究又是数论与代数中的中心研究领域，它与诸如代数几何、李群表示、代数k-理论、理论物理（弦理论）等有着十分密切的内在联系，它在Fermat大定理的 Wiles证明中有主导的作用，是目前国内外最热门的数学研究领域之一。本研究方向的研究工作主要集中于模形式（特别是Eisenstein级数和Poincare级数）的构造及其在二次型算术理论中的应用，我们的方法具有十分鲜明的特色，即清晰的构造性。
学术地位
（1）小权Poincare级数的存在性：模形式空间的结构问题是模形式理论研究中的一个基本问题。权大于2的每一个模形式，均可表示为Poincaré级数和 Eisenstein级数的线性组合。但对于权小于等于2的情形，是否存在Poincare级数？这是一个基本的问题。本方向研究人员证明了对于权为r(1<r<=2)和有限体积的双曲离散子群而言，Poincaré级数的存在性。且在此情形下，每一个尖点形式均可表示为这些Poincaré级数的线性组合。应用这一结果，我们部分解决了Knopp关于Eichler-Shimura上同调的一个猜想。这些结果大大发展了Knopp的相关工作。
（2）广义Cohen-Eisenstein级数的构造：著名的模形式专家 H.Cohen、 W.Kohnen 和D.Zagier等在上世纪70年代给出了关于群Г。（4）的半整权Cohen-Eisenstein级数及其基本的算术性质，由此可以对Г。（4）的权大于等于3/2权非尖点形式定义著名的Shimura提升。但对于一般的群Г。（4N）（N无平方因子）而言，相应的结果如何？本方向研究人员彻底解决了这些问题。
（3）利用模形式理论的有关结果，给出了正定二次型和正定三元二次型表整数的一系列成果。
（4）李代数表示理论及代数曲面的结构理论：在Virasoro代数的表示上，给出了该类代数的点表示的定正分类，在代数曲面领域，给出了代数基本群挠2商为 情形的超椭圆曲面的斜率为 r的关系的刻划。为进一步构造具有高斜率的代数曲面创造了一定基础。
本方向研究队伍精干，结构合理，与国内外很多同行建立了长期合作关系，学科带头人王学理教授长期从事数论、代数及其应用的研究，其研究成果得到一些专家的高度评价。曾多次被邀访问国内外著名数学研究机构，多次参加国内和国际学术会议，并连续多次主持国家自然科学基金。
作用和意义
（1）本研究方向所涉及的模形式、代数曲面等均为当今数学研究的核心领域，而目前国内在这一方面的研究与国际水平相比差距不小，加强这一方面的研究十分必要。
（2）本研究方向所涉及的数论与代数的方法和技术，在现代密码学中有十分重要的应用前景。事实上是密码学研究中最重要的工具。因此，加强这方面的研究，将对密码学研究产生推动作用。因此，数论和代数的研究既具有重要的理论意义，又具有广泛的应用前景。
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文章出处：广州大学研究生处
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文章作者：广州大学研究生处
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